Problema del giorno

Un albergo ha 100 camere, numerate da 1 a 100.
Ogni mattina una persona deve svolgere una semplice operazione: 
• se una porta è chiusa la apre 
• se una porta è aperta la chiude. 

Il primo giorno apre tutte le porte.
Il giorno dopo apre solo quelle che hanno un numero che è multiplo di 2.
Il terzo giorno apre solo quelle che hanno un numero che è multiplo di 3.
Il quarto giorno apre solo quelle che hanno un numero che è multiplo di 4 e così via fino al centesimo giorno compreso. 

Quale numero di porte resteranno aperte dopo cento giorni?

SOLUZIONE

Le 100 porte sono tutte inizialmente chiuse.

Prendiamo una porta qualsiasi, ad esempio la porta 12.
Ogni volta che viene toccata, la porta cambia stato:
• se viene toccata un numero pari di volte → torna chiusa
• se viene toccata un numero dispari di volte → torna aperta

Quindi la soluzione è vedere quanti divisori ha un numero.

I divisori dei numeri normalmente vengono a coppie.
Esempio: 
il numero 12 ha 6 divisori (1,2,3,4,6,12) → numero pari quindi porta chiusa
il numero 16 ha un numero dispari di divisori (1,2,4,8,16) quindi porta aperta.
Il numero 16 è un quadrato perfetto (4 x 4), cioè con divisori dispari.

Le porte aperte sono:1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
Una porta resta aperta se il suo numero ha un numero dispari di divisori → cioè se è un quadrato perfetto.